求余数的各种方法
最新推荐文章于 2025-06-12 10:45:21 发布
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本文介绍了求余数的几种方法，包括辗转相除法（欧几里德法）、穷举法、更相减损术和Stein算法。辗转相除法基于欧几里得定理，通过不断除法和取余来求解最大公约数。穷举法则是从小到大枚举公约数。更相减损术是中国古代《九章算术》中的算法，通过不断相减直至相等来求解。Stein算法利用数的性质，对奇数和偶数情况分别处理，实现高效求解最大公约数。
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1.辗转相除法辗转相除法（又名欧几里德法） C语言中用于计算两个正整数a,b的最大公约数和最小公倍数，实质它依赖于下面的定理： a b=0 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) b!=0根据这一定理可以采用函数嵌套调用和递归调用形式进行求两个数的最大公约数和最小公倍数,现分别叙述如下：①函数嵌套调用其算法过程为： 前提：设两数为a,b设其中a 做被除数,b做除数，temp为余数1、大数放a中、小数放b中；2、求a/b的余数；3、若temp=0则b为最大公约数；4、如果temp!=0则把b的值给a、temp的值给a；5、返回第二步； 2.穷举法（利用数学定义） 穷举法（也叫枚举法）穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数 。①定义1：对两个正整数a,b如果能在区间[a,0]或[b,0]内能找到一个整数temp能同时被a和b所整除，则temp即为最大公约数。 3. 更相减损法 更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。” 翻译成现代语言如下： 第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等 为止。 则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。 其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫等值算法。 4.Stein算法 Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。来研究一下最大公约数的性质，发现有 gcd( kx,ky ) = kgcd( x,y ) 这么一个非常好的性质。试取 k=2，则有 gcd( 2x,2y ) = 2 * gcd( x,y )。很快联想到将两个偶数化小的方法。那么一奇一个偶以及两个奇数的情况如何化小呢？ 先来看看一奇一偶的情况： 设有2x和y两个数，其中y为奇数。因为y的所有约数都是奇数，所以 a = gcd( 2x,y ) 是奇数。根据2x是个偶数不难联想到，a应该是x的约数。我们来证明一下：(2x)%a=0，设2x=na，因为a是奇数，2x是偶数，则必有n是偶数。又因为 x=(n/2)*a，所以 x%a=0，即a是x的约数。因为a也是y的约数，所以a是x和y的公约数，有 gcd( 2x,y ) <= gcd( x,y )。因为gcd( x,y )明显是2x和y的公约数，又有gcd( x,y ) <= gcd( 2x,y )，所以 gcd( 2x,y ) = gcd( x,y )。至此，我们得出了一奇一偶时化小的方法。 再来看看两个奇数的情况：设有两个奇数x和y，不妨设x>y，注意到x+y和x-y是两个偶数，则有 gcd( x+y,x-y ) = 2 * gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 )，那么 gcd( x,y ) 与 gcd( x+y,x-y ) 以及 gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 ) 之间是不是有某种联系呢？为了方便设 m=(x+y)/2 ，n=(x-y)/2 ，容易发现 m+n=x ，m-n=y 。设 a = gcd( m,n )，则 m%a=0,n%a=0 ，所以 (m+n)%a=0，(m-n)%a=0 ，即 x%a=0 ，y%a=0 ，所以a是x和y的公约数，有 gcd( m,n )<= gcd(x,y)。再设 b = gcd( x,y )肯定为奇数，则 x%b=0,y%b=0 ，所以 (x+y)%b=0 ，(x-y)%b=0 ，又因为x+y和x-y都是偶数，跟前面一奇一偶时证明a是x的约数的方法相